Pozdější polní maršál von Greim se narodil v roce 1892 v Bayreuthu. Za 1. světové války bojoval jako stíhací pilot. V letech 1924 – 1927 působil na Dálném východě, když organizoval v Kantonu budování čínského vojenského letectva. Roku 1935 se stal velitelem stíhací eskadry Richthofen. O tři roky později nastoupil na říšské ministerstvo letectví.

Již v hodnosti generála letectva, kterou obdržel v roce 1940, stál od dubna 1942 v čele velitelství Luftwaffe na Východě. V dubnu 1945 přiletěl spolu s testovací pilotkou Hanou Reitschovou do Sověty obklíčeného Berlína, kde byl Adolfem Hitlerem jmenován na post velitele Luftwaffe, místo Hermanna Göringa, který se pokusil převzít moc. Nový vrchní velitel v té době prakticky již neexistující Luftwaffe však již neměl možnost začít svůj úřad vykonávat. Polního maršála von Greima krátce po skončení války zajali Američané. Ze strachu, že bude vydán do Sovětského svazu, spáchal 24. května 1945 ve vazbě sebevraždu.